P = $x^{2}$ + 2$y^{2}$ + 2xy - 6x - 8y + 2029
= ($x^{2}$ + 2xy +2y) - 6(x + y) + ($y^{2}$ - 2y + 1 ) + 9 + 2019
= $(x+y)^{2}$ + $(y-1)^{2}$ - 6(x + y) + 2019
= [$(x+y)^{2}$ - 6(x + y) + 9] + 2019
= $(x+y - 3)^{2}$ + $(y-1)^{2}$ + 2019 $\geq$ 2019
do đó giá trị nhỏ nhất của P= 2019
⇔$\left \{ {{y-1=0} \atop {x+y-3=0}} \right.$
⇔$\left \{ {{y=1} \atop {x+y=3(biết y = 1)}} \right.$ $\left \{ {{y=1} \atop {x=2}} \right.$