Giải thích các bước giải:
$T=\sqrt[]{(x-3)^2+(y-4)^2} +\sqrt[]{x^2+y^2}$
Theo bất đẳng thức $Minkovsky$:
$⇒T≥\sqrt[]{(x-3+x)^2+(y-4+y)^2}=\sqrt[]{9+16}=\sqrt[]{25}=5 $
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $5$
Dấu bằng xảy ra khi:
$\frac{x-3}{y-4}=\frac{x}{y}$
$⇔y(x-3)=x(y-4)$
$⇔xy-3y=xy-4x$
$⇒x=\frac{3y}{4}$
$⇔\sqrt[]{(\frac{3y}{4}-3)^2+(y-4)^2 }+\sqrt[]{(\frac{3y}{4})^2+y^2 }=5$
$⇔\sqrt[]{\frac{25}{16}.y^2-\frac{25}{2}.y+25 }+\sqrt[]{\frac{25}{16}.y^2 }=5$
$⇔\sqrt[]{(\frac{5}{4}.y-5)^2 }+\sqrt[]{(\frac{5}{4}.y)^2}=5$
$⇔|\frac{5}{4}.y-5| + |\frac{5}{4}.y|=5$
Mà: $|\frac{5}{4}.y-5| + |\frac{5}{4}.y| ≥ 5$
(Vì theo bất đẳng thức trị tuyệt đối : $|A|+|B| ≥ |A+B|$)
$⇒\left \{ {{\frac{5}{4}.y-5 ≥ 0} \atop {\frac{5}{4}.y ≤5 }} \right.$
$⇔\left \{ {{y≥0} \atop {y≤4}} \right. ⇔ 0≤y≤4$
Vậy dấu bằng xảy ra khi: $\left \{ {{x=\frac{3y}{4}} \atop {0≤y≤4}} \right.$
