Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Điều kiện $: 5x - x² = x(5 - x) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 5 $
$ 18 + 3x - x² = (6 - x)(x + 3) ≤ 0 ⇔ - 3 ≤ x ≤ 6 $
$⇒ 0 ≤ x ≤ 5 (1)$
Tìm $GTNN :$
$ (1) ⇒ 5 - x ≥ 0; x + 2 > 0$
$ ⇒ (5 - x)(x + 2) ≥ 0 ⇔ (5 - x)(x + 2) + 8 ≥ 8 $
$ ⇔ \sqrt[]{(5 - x)(x + 2) + 8} ≥ 2\sqrt[]{2} $
$ ⇒ \sqrt[]{x(5 - x)} + \sqrt[]{(5 - x)(x + 2) + 8} ≥ 2\sqrt[]{2} (*)$
$ ⇒ G = \sqrt[]{5x - x²} + \sqrt[]{18 + 3x - x²} ≥ 2\sqrt[]{2}$
Vậy $GTNN$ của $G = 2\sqrt[]{2} $ khi xảy ra dấu "=" ở $(*)$
$ ⇔ 5 - x = 0 ⇔ x = 5$
Tìm $GTLN :$ Áp dụng $BĐT$ Bunhiacopsky:
$ G = \sqrt[]{5x - x²} + \sqrt[]{18 + 3x - x²} $
$ = \sqrt[]{x}.\sqrt[]{5 - x} + \sqrt[]{6 - x}.\sqrt[]{x + 3} $
$ ≤ \sqrt[]{[x + (6 - x)].[(5 - x) + (x + 3)]} =4\sqrt[]{3}$
Vậy $GTLN$ của $G = 4\sqrt[]{3} $. Xảy ra khi:
$ \frac{\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{5 - x}} = \frac{\sqrt[]{6 - x}}{\sqrt[]{x + 3}} ⇔ \frac{x}{5 - x} = \frac{6 - x}{x + 3} ⇔x = \frac{15}{7} (TM (1))$
