$\begin{array}{l} {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = 1 + 2\sin x\cos x\\  \Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - 1 = 2\sin x\cos x\\  \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} - 1}}{2}\\ y = \sin x + \cos x + \dfrac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\\  \Leftrightarrow y = t + \dfrac{{{t^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\\  \Leftrightarrow y = \dfrac{{{t^2}}}{2} + t - \dfrac{1}{2} \end{array}$ 

Với $t=\sin x+\cos x, t\in [-\sqrt 2;\sqrt 2]$. Hàm số bậc 2 này có dạng là parabol hướng lên, có tọa độ đỉnh là $(-1;-1)$

Ta thấy $t(-1)<y(-\sqrt 2)<t(\sqrt 2)$ nên giá trị lớn nhất của hàm số là tại $t=\sqrt 2$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số tại $t=-1$

Với $t=-1$ ta suy ra 

$\begin{array}{l} \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 1\\  \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{2}\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\ x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi  \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{{ - \pi }}{2} + k2\pi \\ x = \pi  + k2\pi  \end{array} \right. \Rightarrow x = \pi  + k\dfrac{\pi }{2} \end{array}$

Với $t=\sqrt 2$ ta suy ra

$\begin{array}{l} \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \\  \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\\  \Leftrightarrow x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\  \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi  \end{array}$