Đáp án: $GTLN$ của $A = \frac{81}{4}$ khi $x = 10 ± 2\sqrt[]{5}$
Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT $ 4ab ≤ (a + b)²$ với $a = x; b = 20 - x$ ta có:
$y = \frac{x(20 - x)}{20} = \frac{4x(20 - x)}{80} ≤ \frac{[x + (20 - x)]²}{80} = 5 (*)$
Thay $y = \frac{x(20 - x)}{20}$ vào biểu thức đã cho gọi là $A$:
$A = \frac{18²y}{(y + 4)²} = \frac{324y}{(y + 4)²}$
@ Nếu $y ≤ 0 ⇒ A ≤ 0 (1)$
@ Xét $y > 0 ⇒ y + \frac{16}{y} ≥ 2\sqrt[]{y(\frac{16}{y})} = 8 $
$A = \frac{324y}{(y + 4)²} = \frac{324y}{y² + 8y + 16} = \frac{324}{y + \frac{16}{y} + 8} ≤ \frac{324}{8 + 8} = \frac{81}{4} (2)$
So sánh $(1); (2) ⇒ GTLN$ của $A = \frac{81}{4}$
Xảy ra khi $: y = \frac{16}{y} ⇔ y² = 16 ⇔ y = 4$ (thỏa $(*))$
$⇔ \frac{x(20 - x)}{20} = 4 ⇔ x² - 20x + 80 = 0 ⇔ x = 10 ± 2\sqrt[]{5}$
