Đáp án:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{A_{\max }} = 8\\
{A_{\min }} = - 2
\end{array} \right.\]
Giải thích các bước giải:
Đặt \(\begin{array}{l}
t = \frac{{8x + 14}}{{{x^2} + 2x + 2}}\\
\Rightarrow t\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) = 8x + 14\\
\Leftrightarrow t{x^2} + 2\left( {t - 4} \right)x + \left( {2t - 14} \right) = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array}\)
Để A có GTLN và GTNN thì phải có nghiệm x thỏa mãn hay phương trình (1) phải có nghiệm.
Nếu t=0 thì phương trình (1) trở thành:
\(8x + 14 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{7}{4}\)
Nếu \(t \ne 0\) thì phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
Δ' \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {t - 4} \right)^2} - t.\left( {2t - 14} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow {t^2} - 8t + 16 - 2{t^2} + 14t \ge 0\\
\Leftrightarrow - {t^2} + 6t + 16 \ge 0\\
\Leftrightarrow {t^2} - 6t - 16 \le 0\\
\Leftrightarrow - 2 \le t \le 8\\
\Leftrightarrow - 2 \le A \le 8\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{A_{\max }} = 8\\
{A_{\min }} = - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
