Bài làm:
ĐKXĐ: x>0
Đặt A = $\frac{2011x-\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}}$
⇒ A = $\frac{2011x}{\sqrt[]{x}}$ - $\frac{2\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}}$ + $\frac{1}{\sqrt[]{x}}$
= 2011$\sqrt[]{x}$ - 2 + $\frac{1}{\sqrt[]{x}}$
= ( 2011$\sqrt[]{x}$ + $\frac{1}{\sqrt[]{x}}$ ) - 2
Vì x>0 ⇒ 2011$\sqrt[]{x}$ > 0 và $\frac{1}{\sqrt[]{x}}$ > 0
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương ta được:
2011$\sqrt[]{x}$ + $\frac{1}{\sqrt[]{x}}$ $\geq$ 2$\sqrt[]{2011\sqrt[]{x}.\frac{1}{\sqrt[]{x}}}$ = 2$\sqrt[]{2011}$
⇒ 2011$\sqrt[]{x}$ + $\frac{1}{\sqrt[]{x}}$ - 2 ≥ 2$\sqrt[]{2011}$ - 2
Dấu " = " xảy ra ⇔ 2011$\sqrt[]{x}$ = $\frac{1}{\sqrt[]{x}}$ ⇔ 2011x = 1 ⇔ x = $\frac{1}{2011}$ ( thỏa mãn ĐKXĐ )
Vậy min A = 2$\sqrt[]{2011}$ - 2 ⇔ x = $\frac{1}{2011}$
