Đáp án:
GTNN $f(x)=2\Leftrightarrow x=4$
GTLN $f(x)=2\sqrt5\Leftrightarrow x=\dfrac{36}{5}$
Lời giải:
`2\sqrt{x-4}+\sqrt{8-x}`
Xét Min
`(2\sqrt{x-4}+\sqrt{8-x})^2`
`4(x-4)+2\sqrt{(x-4)(8-x)}+8-x`
`⇔3x-8+2\sqrt{(x-4)(8-x)}`
`⇔3(x-4)+4+2\sqrt{(x-4)(8-x)}`
Vì:
`3(x-4)≥0;2\sqrt{(x-4)(8-x)}\ge0`
`⇒3(x-4)+4+2\sqrt{(x-4)(8-x)}≥4`
`⇔\sqrt{3(x-4)+4+2\sqrt{(x-4)(8-x)}}≥2`
`⇒`Min `f(x)=2`
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow\begin{cases}3(x-4)=0\\2\sqrt{(x-4)(8-x)}=0\end{cases}$
$\Leftrightarrow x=4$
Xét Max
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
`(ax+by)^2≤(a^2+b^2)(x^2+y^2)`
`⇔|ax+by|≤\sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}`
`|2\sqrt{x-4}+1\sqrt{8-x}|=2\sqrt{x-4}+1\sqrt{8-x}≤\sqrt{(2^2+1^2)(x-4+8-x)}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}`
`⇒`Max `f(x)=2\sqrt{5}`
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac xa=\dfrac yb \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{x-4}}2=\sqrt{8-x}$
$\Leftrightarrow x-4=4(8-x)\Leftrightarrow x=\dfrac{36}{5}$.
