Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a. Giả sử M(0;y)
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = (3; - 4)\\
\overrightarrow {AM} = ( - 2;y - 1)
\end{array}\)
Do ΔABC vuông tại A
\(\begin{array}{l}
\to \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} = 0 \to - 6 - 4y + 4 = 0 \to y = \frac{{ - 1}}{2}\\
\to M(0;\frac{{ - 1}}{2})
\end{array}\)
b. Gs N(a;b)
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AN} = (a - 2;b - 1) \to A{N^2} = {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 2b + 1\\
A{B^2} = 25
\end{array}\)
Do ΔNAB đều
\( \to A{N^2} = A{B^2} \to {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 2b + 1 = 25 \to {a^2} - 4a + {b^2} - 2b = 20\)
Gọi H là trung điểm AB⇒NH là đồng thời là đường cao⇒NH⊥AB
⇒H(7/2;-1)
\(\begin{array}{l}
\to \overrightarrow {NH} = (\frac{7}{2} - a; - 1 - b)\\
\to \overrightarrow {NH} .\overrightarrow {AB} = 0 \to \frac{{21}}{2} - 3a + 4 + 4b = 0 \to b = \frac{{3a - \frac{{29}}{2}}}{4} = \frac{{6a - 29}}{8}\\
(1) \to {a^2} - 4a + \frac{{36{a^2} - 348a + 841}}{{64}} - \frac{{6a - 29}}{4} = 20\\
\to \left[ \begin{array}{l}
a = \frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{2} \to b = \frac{{ - 2 + 3\sqrt 3 }}{2}\\
a = \frac{{7 - 4\sqrt 3 }}{2} \to b = - \frac{{2 + 3\sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l}
N(\frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 2 + 3\sqrt 3 }}{2})\\
N(\frac{{7 - 4\sqrt 3 }}{2}; - \frac{{2 + 3\sqrt 3 }}{2})
\end{array} \right.
\end{array}\)
