Đáp án:
\(210\)
Giải thích các bước giải:
\(\eqalign{ & 3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2\,\,\left( {n \ge 2} \right) \cr & \Leftrightarrow 3{{\left( {n + 1} \right)!} \over {2!\left( {n - 1} \right)!}} + n.2! = 4{{n!} \over {\left( {n - 2} \right)!}} \cr & \Leftrightarrow 3{{\left( {n + 1} \right)n} \over 2} + 2n = 4n\left( {n - 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 3{n^2} + 3n + 4n = 8{n^2} - 8n \cr & \Leftrightarrow 5{n^2} - 15n = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ n = 0\,\,\,\left( {\text{loại}} \right) \hfill \cr n = 3\,\,\,\left( {\text{thỏa mãn}} \right) \hfill \cr} \right. \cr & \text{Xét khai triển: }{\left( {{1 \over x} + {x^3}} \right)^{3n + 1}} = {\left( {{1 \over x} + {x^3}} \right)^{10}} \cr & {\left( {{1 \over x} + {x^3}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {{1 \over x}} \right)}^k}{{\left( {{x^3}} \right)}^{10 - k}}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{ - k}}{x^{30 - 3k}}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{30 - 4k}}} \cr & \text{Hệ số của }{x^6}\text{ ứng với }30 - 4k = 6 \Leftrightarrow k = 6 \cr & \text{Vậy hệ số của }{x^6}\text{ là }C_{10}^6 = 210. \cr} \)
