Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^3}\) trong khai triển Newton của \({\left( {x + \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)^6},\,\,x > 0\). A.\(60\) B.\(80\) C.\(240\) D.\(160\)
Đáp án đúng: A Phương pháp giải: - Khai triển nhị thức Newton: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \). - Tìm \(k\) ứng với số mũ của \(x\) bằng 3, tìm \(k\) và suy ra hệ số của \({x^3}\) trong khai triển.Giải chi tiết:Ta có: \({\left( {x + \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)^6} = \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k{x^{6 - k}}{{\left( {\dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)}^k}} \) \( = \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k{2^k}{x^{6 - k}}{x^{ - \dfrac{k}{2}}}} = \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k{2^k}{x^{6 - \dfrac{{3k}}{2}}}} \,\,\left( {k \in \left[ {0;6} \right]} \right)\). Để tìm hệ số của số hạng chứa \({x^3}\) ta cho \(6 - \dfrac{{3k}}{2} = 3 \Leftrightarrow k = 2\,\,\left( {tm} \right)\). Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^3}\) trong khai triển trên là \(C_6^2{2^2} = 60\). Chọn A.