a) Ta có
$m^2x + 4m-3 < x + m^2$
$\Leftrightarrow x(m^2-1) < m^2 - 4m + 3$
$\Leftrightarrow x(m-1)(m+1) < (m-1)(m-3)$
Với $m = 1$ thì ta có $0 < 0$, điều này vô lý, do đó bất phương trình vô nghiệm.
Với $m \neq 1$, bất phương trình trở thành
$x(m+1) < m-3$
Với $m = -1$ ta có $0 < 8$, điều này là hiển nhiên. Do đó bpt có vô số nghiệm
Vậy với $m \neq \pm 1$, ta có
$x < \dfrac{m-3}{m+1}$
Do đó bất phương trình vô nghiệm khi $m = 1$.
b) Ta có
$m^2x +1 \geq m + (3m-2)x$
$\Leftrightarrow (m^2 - 3m + 2)x \geq m-1$
$\Leftrightarrow (m-1)(m-2) x \geq m-1$
Với $m = 1$, bất phương trình trở thành $0 \geq 0$. Điều này đúng với mọi $x$.
Với $m \neq 1$, bất phương trình trở thành
$(m-2)x \geq 1$
Với $m=2\Rightarrow 0\ge1$ vô lý nên bất phương trình vô nghiệm
Với $m\ne 2$ thì $x\ge\dfrac{1}{m-2}$
Vậy bất phương trình vô nghiệm khi $m=2$.
c) Ta có
$mx - m^2 > mx - 4$
$\Leftrightarrow -m^2 > -4$
$\leftrightarrow m^2 < 4$
Để bất phương trình vô nghiệm thì $m^2 \geq 4$ hay $m \geq 2$ hoặc $m \leq -2$.
d) Ta có
$3-mx < 2(x-m) - (m+1)^2$
$\Leftrightarrow (m+2)x > (m+1)^2 + 2m + 3$
$\Leftrightarrow (m+2)x > m^2 + 4m + 4$
$\Leftrightarrow (m+2)x > (m+2)^2$
Với $m = -2$, bất phương trình trở thành $0 > 0$, điều này vô lý, do đó phương trình vô nghiệm.
Với $m \neq -2$, bất phương trình trở thành
$x > m + 2$ bất phương trình này luôn có nghiệm.
Vậy bất phương trình vô nghiệm khi $m = -2$.
