Gọi $d: y=mx+b$
$A(2;4)\in d$ nên ta có:
$2m+b=4$
$\to b=4-2m$
$\to d: y=mx+4-2m$
Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3-3x+2=mx+4-2m$
$\to x^3-(m+3)x+2m-2=0$
$\to (x-2)(x^2+2x-m+1)=0$
$\to \left[ \begin{array}{l}x=2\\x^2+2x-m+1=0\quad(*) \end{array} \right.$
$(d)$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt khi $(*)$ khi $(*)$ có hai nghiệm phân biệt khác $2$
$\to \begin{cases} \Delta'=1+m-1=m>0\\ 4+4-m+1\ne 0\end{cases}$
$\to \begin{cases} m>0\\ m\ne 9\end{cases}$
Hoành độ $x_1$, $x_2$ của $B, C$ là nghiệm $(*)$
Theo Viet: $\begin{cases} x_1+x_2=-2\\ x_1x_2=-m+1\end{cases}$
$BC=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=2\sqrt2$
$\to (x_1-x_2)^2+(mx_1+4-2m-mx_2-4+2m)^2=(2\sqrt2)^2=8$
$\to (m^2+1)(x_1-x_2)^2=8$
$\to (m^2+1)[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]=8$
$\to (m^2+1)(4+4m-4)=8$
$\to 4m(m^2+1)=8$
$\to m=1$ (TM)
(Đáp án sai, $m=0$ thì (*) nghiệm kép)
