Tìm \(m\) để hai bất phương trình sau có cùng tập nghiệm: \({x^2}\left( {x - 5} \right) > 4 - 5x\) và \(mx - 5 > x - 2m\). A.\(m = 3\) B.\(m = 2\) C.\(m = \dfrac{1}{2}\) D.\(m = \dfrac{3}{2}\)
Phương pháp giải: Tìm nghiệm của bất phương trình \({x^2}\left( {x - 5} \right) > 4 - 5x\), chia trường hợp giải bất phương trình \(mx - 5 > x - 2m\) cho nghiệm theo m và cho 2 tập nghiệm bằng nhau. Giải chi tiết:\(\begin{array}{l}{x^2}\left( {x - 5} \right) > 4 - 5x\\ \Leftrightarrow {x^3} - 5{x^2} > 4 - 5x\\ \Leftrightarrow {x^3} - 5{x^2} + 5x - 4 > 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 4{x^2} - {x^2} + 4x + x - 4 > 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 4} \right) - x\left( {x - 4} \right) + \left( {x - 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) > 0\end{array}\) Vì \({x^2} - x + 1 > 0\,\,\,\forall x\)\( \Rightarrow x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 4\) \(mx - 5 > x - 2m \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)x > 5 - 2m\) TH1: \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1 \Rightarrow 0x > 5 - 2.1 = 3\) (vô lý) TH2: \(m - 1 e 0 \Leftrightarrow m e 1\) Để hai bất phương trình sau có cùng tập nghiệm thì \(m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\)\( \Rightarrow x > \frac{{5 - 2m}}{{m - 1}} = 4\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow 5 - 2m = 4m - 4\\ \Leftrightarrow - 6m = - 9\\ \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\) Vậy với \(m = \frac{3}{2}\) thì hai bất phương trình có cùng tập nghiệm. Chọn D.