`|x| + |x-1| + | x-2| +...+| x-2020|=m`
Ta thấy từ `|x| + |x-1| + | x-2| +...+| x-2020|` lẻ ra 1 số đó là `|x-1010|`
Áp dụng tính chất `|A|+|B|>=|A+B|`
Dấu = xảy ra khi `AB>=0`
ta có
`|x|+|x-2020|`
`=|x|+|2020-x|>=|x+2020-x|=2020`
Dấu =xảy ra khi
`x(2020-x)>=0`
`<=>x(x-2020)<=0`
Vì `x>x-2020`
`=>` $\begin{cases}x \geq 0\\x-2020 \leq 0\\\end{cases}$
`=>` $\begin{cases}x \geq 0\\x \leq 2020\\\end{cases}$
`=>0<=x<=2020`
CMTT ta có
`|x-1|+|x-2019|>=2018`
Dấu = xảy ra khi
`1<=x<=2019`
..........................
`|x-1009|+|x-1011|>=2`
Dấu =xảy ra khi
`1009<=x<=1011`
`+)|x-1010|>=0`
Dấu = xảy ra khi `x=1010`
Cộng từng vế các BĐT trên ta có
`|x|+|x-1|+|x-2|+.....+|x-2020|>=2020+2018+.......+2+0=[(2020+2).1010]/2=1011.1010=1021110`
Dấu =xảy ra khi
$\begin{cases}0 \leq x \leq 2020\\1 \leq x \leq 2019\\........\\x=1010\\\end{cases}$
`=>x=10`
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất `x=1010` khi `m=1021110`
