Đáp án: $m=1$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$x^2-(2m-1)x+m^2+m-3=0$
Để phương trình có nghiệm
$\to\Delta> 0$
$\to (2m-1)^2-4(m^2+m-3)> 0$
$\to -8m+13> 0$
$\to m<\dfrac{13}{8}$
Khi đó phương trình có $2$ nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn:
$\begin{cases} x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=m^2+m-3\end{cases}$
$\begin{cases} x_1+x_2+1=2m\\x_1x_2=m^2+m-3\end{cases}$
Từ đề bài suy ra:
$A=\dfrac{x_1+x_2+1}{(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)+2(x_1+x_2)^2+5}$
$\to A=\dfrac{x_1+x_2+1}{(x_1+x_2)^2+2(x_1+x_2)^2+5}$
$\to A=\dfrac{x_1+x_2+1}{(x_1+x_2)^2+2(x_1+x_2)^2+1+4}$
$\to A=\dfrac{x_1+x_2+1}{(x_1+x_2+1)^2+4}$
$\to A=\dfrac{2m}{(2m)^2+4}$
$\to A=\dfrac{2m}{4m^2+4}$
$\to 4A=\dfrac{2m}{m^2+1}$
$\to 4A-1=\dfrac{2m}{m^2+1}-1$
$\to 4A-1=\dfrac{2m-m^2-1}{m^2+1}$
$\to 4A-1=\dfrac{-(m-1)^2}{m^2+1}< 0$
$\to 4A< 1$
$\to A<\dfrac14$
Dấu = xảy ra khi $m=1$
