$AM$ là trung tuyến
$\to M$ là trung điểm $BC$
a)
$\Delta AMB$ có $ME$ là phân giác $\widehat{AMB}$
$\to \dfrac{EA}{EB}=\dfrac{MA}{MB}$
Mà $MB=MC$ ( $M$ là trung điểm $BC$ )
$\to \dfrac{EA}{EB}=\dfrac{MA}{MC}$
$\Delta AMC$ có $MF$ là phân giác $\widehat{AMC}$
$\to \dfrac{FA}{FC}=\dfrac{MA}{MC}$
$\to \dfrac{EA}{EB}=\dfrac{FA}{FC}$
Xét $\Delta ABC$ có:
$\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{FA}{FC}$
$\to EF\,\,||\,\,BC$
b)
Xét $\Delta ABM$ có $OE\,\,||\,\,BM$
$\to \dfrac{OE}{BM}=\dfrac{AO}{AM}$ ( hệ quả của định lý Ta-let )
Xét $\Delta ACM$ có $OF||\,\,CM$
$\to \dfrac{OF}{CM}=\dfrac{AO}{AM}$ ( hệ quả của định lý Ta-let )
$\to \dfrac{OE}{BM}=\dfrac{OF}{CM}$
Mà $BM=CM$ ( $M$ là trung điểm $BC$ )
Nên $OE=OF$
c)
$M$ là trung điểm $BC$
$\to BM=\dfrac{1}{2}.BC=\dfrac{1}{2}.30=15\,\,\,\left( cm \right)$
Xét $\Delta ABM$ có $ME$ là phân giác $\widehat{AMB}$
$\to \dfrac{EA}{EB}=\dfrac{MA}{MB}$
Xét $\Delta ABM$ có $OE\,\,||\,\,BM$
$\to \dfrac{EA}{EB}=\dfrac{OA}{OM}$ ( định lý Ta-let )
$\to \dfrac{MA}{MB}=\dfrac{OA}{OM}$
$\to \dfrac{OM}{MB}=\dfrac{OA}{MA}$
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$\dfrac{OM}{MB}=\dfrac{OA}{MA}=\dfrac{OM+OA}{MB+MA}=\dfrac{MA}{MB+MA}=\dfrac{10}{15+10}=\dfrac{2}{5}$
$\to OA=MA.\dfrac{2}{5}=10.\dfrac{2}{5}=4\,\,\,\left( cm \right)$
$\Delta ABM$ có $OE\,\,||\,\,BM$
$\to \dfrac{OE}{BM}=\dfrac{OA}{AM}$
$\to OE=\dfrac{OA.BM}{AM}=\dfrac{4.15}{10}=6\,\,\,\left( cm \right)$
$\to EF=2.OE=2.6=12\,\,\,\left( cm \right)$
