${x^2} - \left( {2m - 3} \right)x + {m^2} + 2m + 2 = 0\\
\Delta = {b^2} - 4ac = {\left[ { - \left( {2m - 3} \right)} \right]^2} - 4.1.\left( {{m^2} + 2m + 2} \right) = - 20m + 1$
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: $\Delta > 0 \Rightarrow - 20m + 1 > 0 \Leftrightarrow - 20m > - 1 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{{20}}$
Theo hệ thức Vi - ét: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m - 3 (1)\\
{x_1}{x_2} = {m^2} + 2m + 2(2)
\end{array} \right.$
Theo đề bài: ${x_1} = 2{x_2} \Rightarrow {x_1} - 2{x_2} = 0\left( 3 \right)$
Kết hợp (1) và (3) ta được: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m - 3\\
{x_1} - 2{x_2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = \dfrac{{4m}}{3} - 2\\
{x_2} = \frac{{2m}}{3} - 1
\end{array} \right.$
Thay vào lại (2) ta được:
$\begin{array}{l}
\left( {\dfrac{{4m}}{3} - 2} \right)\left( {\dfrac{{2m}}{3} - 1} \right) = {m^2} + 2m + 2\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0 \text{(nhận)}\\
m = - 42\text{(nhận)}
\end{array} \right.
\end{array}$
