Đáp án: $m=\dfrac{1}{4}$
Giải thích các bước giải:
$x^3+(2m-1)x^2+(m-2)x-3m+2=0$
$⇔ (x-1).(x^2+2mx+3m-2)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
{x^2} + 2mx + 3m - 2 = 0(*)
\end{array} \right.$
Để phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn $x_1^3+x_2^3+x_3^3=-1$
Thì (*) có 2 nghiệm phân biệt $x_2;x_3$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \Delta ' > 0\\
\Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < 1
\end{array} \right.
\end{array}$
Ta có: $x_2^3+x_3^3=-2$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {{x_2} + {x_3}} \right)\left( {{{\left( {{x_2} + {x_3}} \right)}^2} - 3{x_2}{x_3}} \right) = - 2\\
\Leftrightarrow - 2m.(4m{}^2 - 9m + 6) = - 2\\
\Leftrightarrow m.\left( {4m{}^2 - 9m + 6} \right) = 1\\
\Leftrightarrow 4{m^3} - 9{m^2} + 6m - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\text{ (loại)}\\
m = \dfrac{1}{4}\text{ (thỏa mãn)}
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy $m=\dfrac{1}{4}$.
