Đáp án:
\(2 < m < 6\)
Giải thích các bước giải:
\({x^3} - 3{x^2} + m-2 = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} = 2 - m\)
Số nghiệm của phương trình bài cho là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) và đường thẳng \(y = 2 - m.\)
Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) ta có:
\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 6x \Rightarrow y' = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có bảng biến thiên như hình bên dưới.
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow y = - m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) tại 3 điểm phân biệt.
Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y = 2- m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) tại 3 điểm phân biệt
\( \Leftrightarrow - 4 < 2 - m < 0 \Leftrightarrow 2 < m < 6.\)
