Đáp án:
a) $m = 2$
b) $m < 3$
Giải thích các bước giải:
a) $x^3 - 3mx^2 + x + 2m^3 + 3m - 8 = 0\qquad (*)$
Phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng
$\to \begin{cases}x_1 + x_3 = 2x_2\\x_1 + x_2 + x_3 = 3m\end{cases}$
$\to 3x_2 = 3m$
$\to x_2 = m$
$x_2$ là một nghiệm của $(*)$, thay $x_2 = m$ vào $(*)$ ta được:
$m^3 - 3m^3 + m + 2m^3 + 3m - 8= 0$
$\to 4m = 8$
$\to m = 2\qquad (1)$
Thay $m = 2$ ta được:
$x^3 - 6x^2 + x + 14 = 0$
$\to \left[\begin{array}{l}x =2 -\sqrt{11}\\x = 2\\x = 2 +\sqrt{11}\end{array}\right.$
$\to 3$ nghiệm lập thành cấp số cộng $(2)$
$(1)(2)\to$ Phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng khi $m = 2$
b) $x^3 - 3x^2 + mx + 2 - m = 0\qquad (**)$
Phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng
$\to \begin{cases}x_1 + x_3 = 2x_2\\x_1 + x_2 + x_3 = 3\end{cases}$
$\to 3x_2 = 3$
$\to x_2 = 1$
$x_2=1$ là một nghiệm của $(*)$, ta được:
$(*)\Leftrightarrow (x-1)(x^2 - 2x + m -2)=0$
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
$\to x^2 - 2x + m - 2 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt
$\to \Delta '> 0$
$\to 1 - (m-2) > 0$
$\to m < 3$
Vậy phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng với mọi $m < 3$
