Áp dụng bất đẳng thức chứa trị tuyệt đối, ta được:
$|\sin x| - |\cos2x| \leq |\sin x + \cos2x| \leq |\sin x| + |\cos2x|$
Với $\begin{cases}0 \leq |\sin x| \leq 1\\0 \leq |\cos2x| \leq 1\end{cases}$
Ta được: $0 \leq |\sin x| - |\cos2x| \leq |\sin x + \cos2x| \leq |\sin x| + |\cos2x| \leq 2$
Vậy $y_{min}= 0; \, y_{max} = 2$
_______________________________
Cách trên vẫn đúng nhưng khó tìm ra các góc tại đó thoả mãn $\max$ và $\min$ vì phải chia ra nhiều trường hợp để tìm.
Cách khác:
$y =|\sin x +\cos2x|$
$= |- 2\sin^2x + \sin x +1|$
$= \left|- 2\left(\sin x -\dfrac14\right)^2 + \dfrac98\right|$
Ta có:
$-1\leqslant \sin x \leqslant 1$
$\to -\dfrac54 \leqslant \sin x -\dfrac14 \leqslant \dfrac34$
$\to 0 \leqslant \left(\sin x -\dfrac14\right)^2 \leqslant \dfrac{25}{16}$
$\to -\dfrac{25}{8}\leqslant -2\left(\sin x -\dfrac14\right)^2 \leqslant 0$
$\to -2\leqslant -2\left(\sin x -\dfrac14\right)^2+\dfrac98 \leqslant \dfrac98$
$\to 0 \leqslant \left|- 2\left(\sin x -\dfrac14\right)^2 + \dfrac98\right| \leqslant 2$
Hay $0 \leqslant y \leqslant 2$
$\bullet\quad y_{\min}= 0$
$\Leftrightarrow \sin x + \cos2x= 0$
$\Leftrightarrow -2\sin^2x + \sin x + 1 = 0$
$\Leftrightarrow (2\sin x +1)(\sin x -1)= 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\sin x = -\dfrac12\\\sin x = 1\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -\dfrac{\pi}{6} + k2\pi\\x = \dfrac{7\pi}{6} + k2\pi\\x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\end{array}\right.\quad (k\in\Bbb Z)$
$\bullet\quad y_{\max}= 2$
$\Leftrightarrow \sin x = -1$
$\Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi\quad (k\in\Bbb Z)$
