-Để `(21n+3)/(6n+4)` là phân số tối giản ⇔ `(21n+3)` và `(6n+4)` nguyên tố cùng nhau.
-Gọi `ƯCLN(21n+3; 6n+4) = d`
⇒ `{(21n+3vdotsd),(6n+4vdotsd):} ⇒ {(2.(21n+3vdotsd),(7.(6n+4)vdotsd):}`
⇒ `{(42n+6vdotsd),(42n+28vdotsd):}`
⇒ `( 42n + 28 ) - ( 42n + 6 ) vdots d`
⇒ `22 vdots d`
⇒ `d = { 2; 11 }`
`+` Nếu `d = 2`
-Ta có: `6n + 4 = 2 . ( 3n + 2 ) vdots 2`
-Mà `6n + 4 > 2` ⇒ `6n + 4` không là số nguyên tố
⇒ `d = 2` ( Loại )
`+` Nếu `d = 11`
-Ta có: `21n + 3 = 22n - n + 3 vdots 11`
⇒ `3 - n vdots 11` ( vì `22 vdots 11`
-Vì `3 - n vdots 11 ⇒ 3 - n = 11k ⇒ n = 3 - 11k`
⇒ `6n + 4 = 6 . ( 3 - 11k ) = 4 = 18 - 66k + 4 = 22 - 66k = 11 . ( 2 - 6k ) vdots 11`
-Mà `6n + 4 > 11` ⇒ `6n + 4` không là số nguyên tố
Vậy `n` là số lẻ hoặc `n = 3 - 11k`
