Đáp án:
n=14
Giải thích các bước giải:
Đặt \(2^{13}+2^{10}+2^{n}=a^{2}\)
\(\rightarrow 2^{n}=a^{2}-96^{2}=(a-96)(a+96)\)
Tồn tại \(q;p\) sao cho \(a-96=2^{p}; a+96=2^{q}\)
. Với \(q,p\) \(\epsilon N\); \(q>p; \) \(p+q=n\)
Ta có: \(2^q-2^p=192 \leftrightarrow 2^{p}(2^{q-p}-1)=2^{6}.3\)
\(\leftrightarrow 2^{p}=2^{6}\) và \(2^{q-p}-1=3\Rightarrow 2^{q-p}=4=2^2\Rightarrow q-p=2\)
\(\leftrightarrow p=6\) và \(q=8\)
Vậy \(n=q+p=8+6=14\)
Thử lại $2^{13}+2^{10}+2^{14}=2^{10}(2^3+1+2^4)=2^{10}.(8+1+16)$
$=2^10.25=(2^5)^2.5^2=(5.2^5)^2$ là số chính phương.
Vậy n=14.
