Vì `n^2 + 2n + 12` là số chính phương nên `n^2 + 2n + 12` có dạng `k^2`(k ∈ N)
⇔ `(n^2 + 2n + 1) + 11 = k^2`
⇔ `k^2 – (n+1)^2 = 11`
⇔ `(k+n+1)(k-n-1) = 11`
11 là số nguyên tố ⇒ 11=11.1 mà `k+n+1>k-n-1`
⇒$\left \{ {{k+n+1=11} \atop {k-n-1=1}} \right.$
⇔$\left \{ {{k+n=10} \atop {k-n=2}} \right.$
⇔$\left \{ {{k+n+k-n=10+2} \atop {k-n=2}} \right.$
⇔$\left \{ {{2k=12} \atop {k-n=2}} \right.$
⇔$\left \{ {{k=6} \atop {6-n=2}} \right.$
⇔$\left \{ {{k=6} \atop {n=4}} \right.$
⇔`n=4 `
