Đáp án: $n=0$
Giải thích các bước giải:
Để $n^4+n^3+n^2$ là số chính phương
$\to n^2(n^2+n+1)$ là số chính phương
Gọi $UCLN(n^2,n^2+n+1)=d, d\in N*$
$\to\begin{cases}n^2\quad\vdots\quad d\\ n^2+n+1\quad\vdots\quad d\end{cases}$
$\to\begin{cases}n^2\quad\vdots\quad d\\n+1\quad\vdots\quad d\end{cases}$
$\to\begin{cases}n^2\quad\vdots\quad d\\n(n+1)\quad\vdots\quad d\end{cases}$
$\to\begin{cases}n^2\quad\vdots\quad d\\n^2+n\quad\vdots\quad d\end{cases}$
$\to\begin{cases}n^2\quad\vdots\quad d\\n\quad\vdots\quad d\end{cases}$
Lại có $n^2+n+1\quad\vdots\quad d$
$\to 1\quad\vdots\quad d$
$\to d=1$
$\to (n^2,n^2+n+1)=1$
Để $n^2(n^2+n+1)$ là số chính phương
$\to n^2+n+1$ là số chính phương vì $n^2$ là số chính phương
$\to n^2+n+1=m^2, m\in N$
$\to 4n^2+4n+4=4m^2$
$\to (4n^2+4n+1)+3=4m^2$
$\to (2n+1)^2+3=(2m)^2$
$\to (2m)^2-(2n+1)^2=3$
$\to (2m-2n-1)(2m+2n+1)=3$
Vì $m,n\in N$
$\to 2m+2n+1>2m-2n-1, 2m+2n+1>0$
$\to \begin{cases} 2m+2n+1=3\\2m-2n-1=1\end{cases}$
$\to \begin{cases} 2m+2n=2\\2m-2n=2\end{cases}$
$\to \begin{cases} m+n=1\\m-n=1\end{cases}$
$\to (m+n)-(m-n)=0$
$\to 2n=0$
$\to n=0$
