Giải thích các bước giải:
1.Ta có:
$12n^2-5n-25$ là số nguyên tố
$\to (4n+5)(3n-5)$ là số nguyên tố
Vì $n\in N\to 4n+5>3n-5, 4n+5>0$
$\to 3n-5=1$ và $4n+5$ là số nguyên tố
$\to n=2\to 4n+5=13$ là số nguyên tố
$\to n=2$ chọn
2.Nếu $n$ chẵn
$\to n=2k, k\in N$
Đặt $P=\dfrac{n^3+3n}{4}$
$\to P=\dfrac{(2k)^3+3\cdot (2k)}{4}$
$\to P=\dfrac{(2k)^3+3\cdot (2k)}{4}$$
$\to P=\dfrac{k\left(4k^2+3\right)}{2}$
$\to k$ chẵn vì $4k^2+3$ lẻ
$\to k=2m, m\in N$
$\to P=\dfrac{2m\left(4(2m)^2+3\right)}{2}$
$\to P=m\left(16m^2+3\right)$
Để $P$ là số nguyên tố
Do $m<16m^2+3$
$\to m=1$ và $16m^2+3$ là số nguyên tố
Vì $m=1\to 16m^2+3=19$ là số nguyên tố
$\to m=1$ chọn
$\to k=2$
$\to n=4$
Nếu $n$ lẻ
$\to n=2k+1, k\in N$
$\to P=\dfrac{(2k+1)^3+3\cdot (2k+1)}{4}$
$\to P=\left(2k+1\right)\left(k^2+k+1\right)$
Để $P$ là số nguyên tố
$\to 2k+1=1, k^2+k+1$ là số nguyên tố vì $2k+1\le k^2+k+1$
$\to k=0, k^2+k+1=1$ không là số nguyên tố
$\to n$ lẻ (loại)
Vậy $n=4$
