Đáp án: $n \in \{3,12\}$
Giải thích các bước giải:
Đặt $n^2+n+13=a^2 (a \in N^*)$
$\to 4n^2+4n+52=4a^2$
$\to (2n+1)^2+51 = 4a^2$
$\to (2a)^2-(2n+1)^2=51$
$\to (2a-2n-1).(2a+2n+1) = 51$
Vì $a,n \in N^* \to \left\{\begin{array}{l}2a+2n+1>5\\2a+2n+1>2a-2n-1\end{array} \right.$
Mà : $51 = 3.17 = 1.51 $
Nên ta có 2 trường hợp :
TH1 : $\left\{\begin{array}{l}2a-2n-1=1\\2a+2n+1=51\end{array} \right.$
$\to \left\{\begin{array}{l}a=13\\n=12\end{array} \right.$ ( Thỏa mãn )
TH2 : $\left\{\begin{array}{l}2a-2n-1=3\\2a+2n+1=17\end{array} \right.$
$\to \left\{\begin{array}{l}a=5\\n=3\end{array} \right.$ ( Thỏa mãn )
Vậy $n \in \{3,12\}$ thỏa mãn đề.
