Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x - my = 2 - 4m\\mx + y = 3m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = my + 2 - 4m\\m\left( {my + 2 - 4m} \right) + y = 3m + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = my + 2 - 4m\\{m^2}y + 2m - 4{m^2} + y = 3m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = my + 2 - 4m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {{m^2} + 1} \right)y = 4{m^2} + m + 1\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Phương trình (2) là phương trình bậc nhất ẩn y có hệ số \(a = {m^2} + 1 > 0\,\,\forall m\) nên phương trình (2) có nghiệm duy nhất \(y = \dfrac{{m + 1 + 4{m^2}}}{{{m^2} + 1}}\forall m\)
Thay vào (1) ta được: \(x = my + 2 - 4m = \dfrac{{{m^2} + m + 4{m^3} + 2\left( {{m^2} + 1} \right) - 4m\left( {{m^2} + 1} \right)}}{{{m^2} + 1}} = \dfrac{{3{m^2} - 3m + 2}}{{{m^2} + 1}}\)
Vậy với mọi m hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) duy nhất là \(\left( {\dfrac{{3{m^2} - 3m + 2}}{{{m^2} + 1}};\dfrac{{m + 1 + 4{m^2}}}{{{m^2} + 1}}} \right)\)