`5^{z}=3^{x}+4^{y}\equiv 1(mod4)\Rightarrow 3^{x}\equiv 1(mod4) \Rightarrow x` chẵn
Đặt `x=2b`
`3^{x}+4^{y}\equiv 1(mod3)\Rightarrow 5^{z}\equiv 1(mod3) \Rightarrow z` chẵn
Đặt `z=2a`
Thay vào phương trình thì được :
`3^{2b}+4^{y}=5^{2a}\Leftrightarrow (5^{a}-3^{b})(5^{a}+3^{b})=2^{2y}`
Do đó :
\begin{matrix} 5^{a}-3^{b}= 2^{m}& & \\ 5^{b}+3^{b}=2^{n} & & \end{matrix}
Với `m,n` tự nhiên và `m<n` với `m+n=2y`
Ta có: `2.3^{b}=2^{n}-2^{m}=2^{m}(2^{n-m}-1)\Rightarrow m=1`
Do đó : `5^{a}=3^{b}+2\equiv 1(mod4)\Rightarrow 3^{b}\equiv 3(mod4)\Rightarrow b` lẻ
`\Rightarrow 5^{a}=3^{b}+2\equiv 5(mod8)`
Đồng thời: `2.5^{a}=2^{n}+2\Leftrightarrow 5^{a}=2^{n-1}+1`
Lại có: `5^{a}\equiv 5(mod8)\Rightarrow 2^{n-1}+1\equiv 5(mod8)\Rightarrow 2^{n-1}\equiv 4(mod8)\Rightarrow n=3`
Khi đó :`2y = m+n=1+3=4⇒y=2`
Có `5^{a}=2^{n-1}+1⇒a=1⇒x=2`
`⇒z=2`
