Đáp án:
$a)\quad 16$
$b)\quad 6$
Giải thích các bước giải:
$a)\quad (2014^{2015} + 2015^{2016})\ :\ 17$
Ta có:
$+)\quad 2014\equiv 8\pmod{17}$
$\Leftrightarrow 2014^{2015}\equiv 8^{2015}\pmod{17}$
$\bullet\quad 8^8\equiv 1\pmod{17}$
$\Leftrightarrow (8^8)^{251}\equiv 1\pmod{17}$
$\Leftrightarrow 8^{2008}\equiv 1\pmod{17}$
$\bullet\quad 8^7\equiv 15\pmod{17}$
$\Rightarrow 8^{2008}.8^7\equiv 15 \pmod{17}$
$\Rightarrow 8^{2015}\equiv 15\pmod{17}$
$\Rightarrow 2014^{2015}\equiv 15\pmod{17}$
$+)\quad 2015\equiv 9\pmod{17}$
$\Leftrightarrow 2015^{2016}\equiv 9^{2016}\pmod{17}$
$\bullet\quad 9^8\equiv 1\pmod{17}$
$\Leftrightarrow (9^8)^{252}\equiv 1\pmod{17}$
$\Leftrightarrow 9^{2016}\equiv 1\pmod{17}$
$\Rightarrow 2015^{2016}\equiv 1\pmod{17}$
Do đó:
$(2014^{2015} + 2015^{2016})\equiv 16 \pmod{16}$
Vậy $(2014^{2015} + 2015^{2016})\ :\ 17$ dư $16$
$b)\quad (2014^{2013} + 2015^{2014})\ :\ 11$
Ta có:
$+)\quad 2014\equiv 1\pmod{11}$
$\Leftrightarrow 2014^{2013}\equiv 1\pmod{11}$
$+)\quad 2015\equiv 2\pmod{11}$
$\Leftrightarrow 2015^{2014}\equiv 2^{2014}\pmod{11}$
$\bullet\quad 2^{10}\equiv 1\pmod{11}$
$\Leftrightarrow (2^{10})^{201}\equiv 1\pmod{11}$
$\Leftrightarrow 2^{2010}\equiv 1\pmod{11}$
$\bullet\quad 2^4\equiv 5\pmod{11}$
$\Rightarrow 2^{2010}.2^4\equiv 5\pmod{11}$
$\Rightarrow 2^{2014}\equiv 5\pmod{11}$
$\Rightarrow 2015^{2014}\equiv 5\pmod{11}$
Do đó:
$(2014^{2013} + 2015^{2014})\equiv 6\pmod{11}$
Vậy $(2014^{2013} + 2015^{2014})\ :\ 11$ dư $6$
