Tìm số nghiệm của phương trình \({\left( {\left| x \right| - 1} \right)^2}{e^{\left| x \right| - 1}} - \log 2 = 0\). A. \(4\) B. \(3\) C. \(2\) D. \(0\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:Đặt \(t = \left| x \right| - 1 \ge - 1\), phương trình trở thành \({t^2}{e^t} - \log 2 = 0 \Leftrightarrow {t^2}{e^t} = \log 2\). Xét hàm \(y = f\left( t \right) = {t^2}{e^t},t \ge - 1\) có \(f'\left( t \right) = 2t{e^t} + {t^2}{e^t} = t\left( {t + 2} \right){e^t} = 0 \Leftrightarrow t = 0\) do \(t \ge - 1\). Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy, trên nửa khoảng \(\left[ { - 1; + \infty } \right)\) đường thẳng \(y = \log 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại hai điểm phân biệt nên phương trình \(f\left( t \right) = \log 2\) có \(2\) nghiệm phân biệt thỏa mãn \( - 1 < {t_1} < 0 < {t_2}\). Nhận thấy \(t = \left| x \right| - 1 \Rightarrow \left| x \right| = t + 1\) nên với mỗi \(t > - 1\) ta có tương ứng \(2\) giá trị của \(x\). Vậy phương trình đã cho có \(4\) nghiệm phân biệt. Chọn A.