Đặt $A=p^3+p^2+11p+2$
+) Nếu $p=2$ ta có:
`A=2^3+2^2+11.2+2=36` không là số nguyên tố
+) Nếu $p=3$ ta có:
`A=3^3+3^2+11.3+2=71` là số nguyên tố.
+) Nếu `p>3`
`=>p=3k+1` hoặc $p=3k+2$ $(k\in N$*)
`p>3=>A>71`
Ta có:
$\quad A=p^3+p^2+11p+2$
`<=>A=p^2(p+1)+2(p+1)+9p`
`<=>A=(p+1)(p^2+2)+9p`
$\\$
*Nếu $p=3k+1$ ta có:
`\qquad A=(p+1)(p^2+2)+9p`
`<=>A=(3k+1+1)[(3k+1)^2+2]+9(3k+1)`
`<=>A=(3k+2)(9k^2+6k+3)+9(3k+1)`
`<=>A=3. [(3k+2)(3k^2+2k+1)+3(3k+1)]`
`=>A\ \vdots \ 3`
Mà `A>71=>A` không là số nguyên tố.
$\\$
*Nếu $p=3k+2$ ta có:
`\qquad A=(p+1)(p^2+2)+9p`
`<=> A=(3k+2+1)[(3k+2)^2+2]+9(3k+2)`
`<=>A=(3k+3)[(3k+2)^2+2]+9(3k+2)`
`<=>A=3(k+1)[(3k+2)^2+2]+9(3k+2)`
`=>A\ \vdots \ 3`
`=>A` không là số nguyên tố.
Vậy $p^3+p^2+11p+2$ là số nguyên tố khi $p=3$
