Đáp án: `p=3`
Giải thích các bước giải:
Do `p` là số nguyên tố nên các ước của `p^4` là `1;p;p^2;p^3;p^4`
Ta có `n^2=p^4+p^3+p^2+p+1` với `n\inNN`
Do đó `4n^2=4p^4+4p^3+4p^2+4p+4`
`=(2p^2+p)^2+3p^2+4p+4>(2p^2+p)^2`
Mà `3p^2+4p+4>0∀p` là số nguyên tố.
`=>` `2n>2p^2+p(1)`
Mặt khác `4n^2=4p^4+4p^3+4p^2+4p+4`
`=(2p^2+p+1)^2-p^2+2p+3`
`(2p^2+p+1)^2-(p-1)^2+4`
`+)` Nếu `p>3` thì `-(p-1)^2+4<0`
`=>4n^2<(2p^2+p+1)^2=>2n<2p^2+p+1(2)`
Từ `(1)` và `(2)=>2p^2+p<2n<2p^2+p+1(` vô lý `)`
Từ đó suy ra `p<=3`
Do `p` là số nguyên tố nên `p=2` hoặc `p=3`
`+)` Thử `p=2:`
Tổng các ước nguyên dương của `p^4` là:
`1+p+p^2+p^3+p^4=1+2+2^2+2^3+2^4=31\ne n^2`
`=>` Không thỏa mãn `=>` `p\ne2`
`+)` Thử `p=3:`
Tổng các ước nguyên dương của `p^4` là:
`1+p+p^2+p^3+p^4=1+3+3^2+3^3+3^4=121=11^2=n^2`
`=>` Thỏa mãn `=>` `p=3`
Vậy `p=3` thì thỏa mãn
