Đặt: `3^a+72=x^2` `(x,a∈N)`

Vì `72=64+8=8^2+8`

`<=>x>8`

Với `x=9`

`<=>3^a+72=81<=>3^a=9<=>a=2`(thỏa mãn)

Với `x=10`

`<=>3^a+72=100<=>3^a=28<=>a∈∅`

Với `x=11`

`<=>3^a+72=121<=>3^a=49<=>a∈∅`

Với `x=12`

`<=>3^a+72=144<=>a∈∅`

Với `x>=13`

`<=>3^a+72>=169⇔3^a>=97⇔a∈∅`

Vậy ta có: `a=2`

Đáp án:

$a=1$ 

Giải thích các bước giải:

Với $a$ lẻ

Đặt $a=2k+1$, khi đó $3^a+72=3^{2k+1}+72=9^k.3+72$

Thấy được $9^k$ chia $4$ dư $1$

$⇒9^k.3$ chia $4$ dư $3$

mà $72$ chia hết cho $4$

$⇒9^k.3+72$ chia $4$ dư $3$ không là số chính phương

Do đó $a$ chẵn

Đặt $a=2k$ ta có: $3^a+72=3^{2k}+72=q^2$ ($q$ là số tự nhiên)

$⇔q^2-3^{2k}=72$

$⇔(q-3^k)(q+3^k)=72$

Dễ thấy $q-3^k>0$ và $q+3^k>q-3^k$

Ta cần xét $6$ trường hợp

Xét $\begin{cases} q-3^k=1\\q+3^k=72 \end{cases}⇔\begin{cases} q=\dfrac{73}{2}\\3^k=\dfrac{71}{2} \end{cases}$ (loại)

Xét $\begin{cases} q-3^k=2\\q+3^k=36 \end{cases}⇔\begin{cases} q=19\\3^k=17 \end{cases}$ (loại)

Xét $\begin{cases} q-3^k=4\\q+3^k=18\end{cases}⇔\begin{cases} q=11\\3^k=7 \end{cases}$ (loại)

Xét $\begin{cases} q-3^k=8\\q+3^k=9 \end{cases}⇔\begin{cases} q=\dfrac{17}{2}\\3^k=\dfrac{1}{2} \end{cases}$ (loại)

Xét $\begin{cases} q-3^k=3\\q+3^k=24 \end{cases}⇔\begin{cases} q=\dfrac{27}{2}\\3^k=\dfrac{21}{2} \end{cases}$ (loại)

Xét $\begin{cases} q-3^k=6\\q+3^k=12 \end{cases}⇔\begin{cases} q=9\\3^k=3 \end{cases}$ (chọn)

$⇔\begin{cases} q=9\\k=1 \end{cases}$

Vậy số tự nhiên thỏa mãn là $a=1$