Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:Gọi \(d\) là ước nguyên tố của \(21n + 3\) và \(6n + 4\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}21n + 3\,\, \vdots \,\,d\\6n + 4\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( {21n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\\7.\left( {6n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}42n + 6\,\, \vdots \,\,d\\42n + 28\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left( {42n + 28} \right) - \left( {42n + 6} \right)\,\, \vdots \,\,d\)
\( \Rightarrow 42n + 28 - 42n - 6\,\, \vdots \,\,d\)
\( \Rightarrow 22\,\, \vdots \,\,d\)
Vì \(d\) là số nguyên tố nên \(d \in \left\{ {2;11} \right\}\).
+) Với \(d = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}21n + 3\,\, \vdots \,\,2\\6n + 4\,\, \vdots \,\,2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3.\left( {7n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2\\2.\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,2\end{array} \right.\)
Vì \(2.\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,2\) (luôn đúng) \( \Rightarrow 3.\left( {7n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2\).
Mà \(3\) không chia hết cho \(2\) suy ra \(\left( {7n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}7n + 1\,\, \vdots \,\,2\\6\,\, \vdots \,\,2\end{array} \right. \Rightarrow 7n + 1 + 6\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow 7n + 7\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow 7\left( {n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2\)
Vì \(7\) không chia hết cho \(2 \Rightarrow n + 1\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow n = 2m - 1\,\,\,\,\left( {m \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
+) Với \(d = 11 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}21n + 3\,\, \vdots \,\,11\\6n + 4\,\, \vdots \,\,11\end{array} \right.\)
Ta có: \(21n + 3\,\, \vdots \,\,11\) \( \Rightarrow 22n - n + 3\,\, \vdots \,\,11\)\( \Rightarrow 22n - \left( {n - 3} \right)\,\, \vdots \,\,11\)
Mà \(22n\,\, \vdots \,\,11\) nên \(\left( {n - 3} \right)\,\, \vdots \,\,11 \Rightarrow n - 3 = 11k \Rightarrow n = 11k + 3\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)
Với \(n = 11k + 3 \Rightarrow 6n + 4 = 6\left( {11k + 3} \right) + 4\) \( = 66k + 22 = 11\left( {6k + 3} \right)\,\, \vdots \,\,11\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy với \(n = 2m + 1\) hoặc \(n = 11k + 3\,\,\left( {m \in {\mathbb{N}^*},\,\,k \in \mathbb{N}} \right)\) thì phân số \(A = \frac{{21n + 3}}{{6n + 4}}\) rút gọn được.
Chọn A.