Giả sử \(9n+24\) và \(3n+4\) là \(2\) số chưa nguyên tố cùng nhau \(\left(n\in N\right)\)
\(\Rightarrow9n+24\) và \(3n+4\) có ước chung là số nguyên tố
Gọi số nguyên tố \(d\) là ước chung của \(9n+24\) và \(3n+4\) \(\left(d\in N\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}9n+24⋮d\\3n+4⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}9n+24⋮d\\9n+12⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow12⋮d\)
Vì \(d\) là số nguyên tố, \(12⋮d\Rightarrow d\in\left\{2;3\right\}\)
+) \(d=3\Rightarrow3n+4⋮3\Rightarrow4⋮3\) (vô lí)
+)\(d=2\Rightarrow9n+24⋮2\)
\(\Rightarrow n+8n+24⋮2\)
\(\Rightarrow n⋮2\)
\(\Rightarrow n=2k\left(k\in N\right)\)
Khi \(n=2k\left(k\in N\right)\) thì \(3n+4=2\left(2k\right)+4=6k+4⋮2\)
Vậy \(n=2k\left(k\in N\right)\) thì \(9n+24\) và \(3n+4\) chưa nguyên tố cùng nhau
~ Chúc bn học tốt ~
