Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau $y=3\sin x+4\cos x+1$ A. $\max y=6$,$\min y=-2$ B. $\max y=4$,$\min y=-4$ C. $\max y=6$,$\min y=-4$ D. $\max y=6$,$\min y=-1$
Đáp án đúng: C Áp dụng BĐT ${{(ac+bd)}^{2}}\le ({{c}^{2}}+{{d}^{2}})({{a}^{2}}+{{b}^{2}})$. Đẳng thức xảy ra khi$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$. Ta có:${{(3\sin x+4\cos x)}^{2}}\le ({{3}^{2}}+{{4}^{2}})({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)=25$ $\Rightarrow -5\le 3\sin x+4\cos x\le 5\Rightarrow -4\le y\le 6$. Vậy$\max y=6$, đạt được khi$\tan x=\frac{3}{4}$. $\min y=-4$, đạt được khi$\tan x=-\frac{3}{4}$. Chú ý: Với cách làm tương tự ta có được kết quả tổng quát sau $\max (a\sin x+b\cos x)=\sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$,$\min (a\sin x+b\cos x)=-\sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$ Tức là:$-\sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\le a\sin x+b\cos x\le \sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$. Chọp C