Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

Khéo léo sử dụng tính chất số học: Nếu \(ab \vdots c\) và \(\gcd \left( {a,c} \right) = 1\) thì \(b \vdots c\)Giải chi tiết:Giả sử \(\left( {a,b} \right)\)là cặp số nguyên dương thỏa mãn Giải Câu toán Khi đó \(\left( {4a + 1;4b + 1} \right) = 1\) và \(\left( {16ab + 1} \right) \vdots \left( {a + b} \right)\left( 1 \right)\)Ta có: \(\left( {4a + 1} \right)\left( {4b + 1} \right) = \left( {16ab + 1} \right) + 4\left( {a + b} \right)\) chia hết cho \(a + b\left( 2 \right)\)Ta có: \(4a + 1 + 4b - 1 = 4\left( {a + b} \right) \vdots \left( {a + b} \right)\)Nếu \(4a + 1;a + b\) cùng chia hết cho số nguyên tố \(p\) thì \(4b - 1\) cũng chia hết cho \(p,\)điều này mâu thuẫn vì \(\left( {4a + 1;4b - 1} \right) = 1\)Do đó, \(\left( {4a + 1;a + b} \right) = 1\), từ (2) suy ra \(\left( {4b + 1} \right) \vdots \left( {a + b} \right)\)Đặt  \(\left( {4b + 1} \right) = k\left( {a + b} \right)\) với \(k \in N*,k \le 3\)Với \(k = 3:4b + 1 = 3a + 3b \Rightarrow b = 3a - 1 \Rightarrow \left( {a,b} \right) = \left( {t,3t - 1} \right)\) với \(t \in N*\)Với \(k = 2:4b + 1 = 2a + 2b \Rightarrow 2b = 2a - 1\), không tồn tại \(a,b\) vì vế trái chẵn, vế phải lẻVới \(k = 1:4b + 1 = a + b \Rightarrow a = 3b + 1 \Rightarrow \left( {a,b} \right) = \left( {3m + 1,m} \right)\) với \(m \in N*\)Ngược lại, dễ dàng chứng minh được với \(\left( {a,b} \right) = \left( {t,3t - 1} \right)\) ( \(t \in N*\)) hoặc \(\left( {a,b} \right) = \left( {3m + 1,m} \right)\) (\(m \in N*\)) thỏa mãn các điều kiện \(4a + 1\) và \(4b - 1\) nguyên tố cùng nhau và \(a + b\) là ước của \(16ab + 1\).Vậy \(\left( {a,b} \right) = \left( {t,3t - 1} \right)\) ( \(t \in N*\)) hoặc \(\left( {a,b} \right) = \left( {3m + 1,m} \right)\) (\(m \in N*\)).