Đáp án:
`P(x)=ax(x-1)(x-2)(x-3)...(x-25)` với $a$ là hằng số
Giải thích các bước giải:
`\qquad x.P(x-1)=(x-26).P(x)`
Với `x=0` ta có: `0.P(0-1)=-26.P(0)`
`=>0=-26P(0)=>P(0)=0`
Với `x=1` ta có: `1.P(1-1)=(1-26).P(1)`
`=>P(0)=-15P(1)`
`=>0=-15P(1)=>P(1)=0`
Với `x=2` ta có: `2.P(2-1)=(2-26).P(2)`
`=>2.P(1)=-24.P(2)`
`=>2.0=-24.P(2)=>P(2)=0`
Với `x=3` ta có: `3.P(3-1)=(3-26).P(3)`
`=>3.P(2)=-23.P(3)`
`=>3.0=-23.P(3)=>P(3)=0`
.....
Với `x=26` ta có: `26.P(25)=(26-26).P(26)`
`=>26P(25)=0=>P(25)=0`
`=>x\in {0;1;2;...;25}` là các nghiệm của `P(x)`
`=>P(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)...(x-25).Q(x)`
`\qquad ` (với `Q(x)` là đa thức)
$\\$
Ta có: `P(x-1)=(x-1)(x-1-1)(x-2-1)...(x-25-1)Q(x-1)`
`=>xP(x-1)=x(x-1)(x-2)(x-3)...(x-26)Q(x-1)`
Vì `xP(x-1)=(x-26)P(x)` với mọi `x`
`=>x(x-1)(x-2)(x-3)...(x-26)Q(x-1)`
`=(x-26).x(x-1)(x-2)(x-3)....(x-25)Q(x)` với mọi `x`
`=>Q(x-1)=Q(x)` với mọi `x`
`=>Q(x)` là hằng số
`=>Q(x)=a` (với $a$ là hằng số)
Vậy `P(x)=ax(x-1)(x-2)(x-3)...(x-25)` với $a$ là hằng số
