Tìm tất cả các giá trị của tam số \(m\) để hàm số \(y = 1 - mx - \left( {x + 1} \right){e^{1 - x}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{1}{e};e} \right)\). A.\(m < 1\) B.\(m \le 1\) C.\(m > 1\) D.\(m \ge 1\)
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:Ta có hàm số \(y = 1 - mx - \left( {x + 1} \right){e^{1 - x}}\) xác định trên \(\left( {\dfrac{1}{e};e} \right)\) Tính \(y' = - m - {e^{1 - x}} + \left( {x + 1} \right){e^{1 - x}} = - m + x{e^{1 - x}}\) Để hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{1}{e};e} \right)\) thì \(y' = - m + x{e^{1 - x}} \le 0;\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{e};e} \right)\) Ta có \( - m + x{e^{1 - x}} \le 0 \Leftrightarrow m \ge x{e^{1 - x}}\) với \(\forall x \in \left( {\dfrac{1}{e};e} \right).\) Xét hàm số \(g\left( x \right) = x{e^{1 - x}}\) trên \(\left( {\dfrac{1}{e};e} \right)\) ta có \(g'\left( x \right) = {e^{1 - x}} - x{e^{1 - x}} = \left( {1 - x} \right){e^{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left( {\dfrac{1}{e};e} \right)\) BBT của \(g\left( x \right)\) trên \(\left( {\dfrac{1}{e};e} \right)\)
Từ BBT ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {\dfrac{1}{e};e} \right)} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 1\) nên để \(m \ge x{e^{1 - x}}\) với \(\forall x \in \left( {\dfrac{1}{e};e} \right)\) thì \(m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {\dfrac{1}{e};e} \right)} g\left( x \right) \Leftrightarrow m \ge 1.\)Chọn D.