Tìm tất cả các giá trị của tham số \(a\) để phương trình \(\frac{a}{{{3}^{x}}+{{3}^{-\,x}}}={{3}^{x}}-{{3}^{-\,x}}\) có nghiệm duy nhất A. \(a\in \mathbb{R}.\) B. không tồn tại \(a.\) C.\(-\,1<a<0.\) D. \(a>0.\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:Ta có \(\frac{a}{{{3}^{x}}+{{3}^{-\,x}}}={{3}^{x}}-{{3}^{-\,x}}\Leftrightarrow a=\left( {{3}^{x}}+\frac{1}{{{3}^{x}}} \right)\left( {{3}^{x}}-\frac{1}{{{3}^{x}}} \right)={{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}-\frac{1}{{{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\) Đặt \(t={{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}={{9}^{x}}>0,\) khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow a=f\left( t \right)=t-\frac{1}{t}.\) Xét hàm số \(f\left( t \right)=t-\frac{1}{t}\) trên khoảng \(\left( 0;+\,\infty \right),\) có \({f}'\left( t \right)=1+\frac{1}{{{t}^{2}}}>0.\) Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( 0;+\,\infty \right),\) nên để \(a=f\left( t \right)\) có nghiệm duy nhất .\(\Leftrightarrow \,\,a\in \mathbb{R}.\) Chọn A