Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\frac{{x+m}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}}}$ đồng biến trên khoảng$\displaystyle (0;+\infty )$. A. $m\le 0$ B. $m\le 1$ C. $m\le -1$ D. $m\le 2$
Đáp án đúng: A TXĐ: D = R. $y'=\frac{{-mx+1}}{{({{x}^{2}}+1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}}}$. Hàm số đồng biến trên khoảng$\displaystyle (0;+\infty )\Leftrightarrow y'\ge 0,\,\forall x\in (0;+\infty )$. $\displaystyle \Leftrightarrow -mx+1\ge 0,\,\forall x\in (0;+\infty )$ (1)
m = 0, (1) đúng. m > 0 thì$-mx+1\ge 0\Leftrightarrow x\le \frac{1}{m}$. Vậy (1) không thỏa mãn. m < 0 thì$-mx+1\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{m}$. Khi đó$(1)\Leftrightarrow \frac{1}{m}\le 0$ (thỏa mãn).