Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
Khai triển hằng đẳng thức, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(y\) (coi \(x\) là tham số).
Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
Điều kiện cần để phương trình có nghiệm nguyên là \(\Delta \) (hoặc \(\Delta '\)) phải là số chính phương.
Chặn khoảng giá trị của \(x\), tìm \(y\) tương ứng.
Thử lại và kết luận nghiệm.
Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x{y^2} - {\left( {y - 45} \right)^2} + 2xy + x - 220y + 2024 = 0\\ \Leftrightarrow x{y^2} - \left( {{y^2} - 90y + {{45}^2}} \right) + 2xy + x - 220y + 2024 = 0\\ \Leftrightarrow {y^2}\left( {x - 1} \right) + 2xy - 130y + x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {y^2}\left( {x - 1} \right) + 2y\left( {x - 65} \right) + x - 1 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)
+ Với \(x = 1\) phương trình (*) \( \Leftrightarrow 2y.\left( {1 - 65} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 0\) (loại do \(x,y > 0\)).
+ Với \(x
e 1\) thì ta coi phương trình (*) là phương trình bậc 2 ẩn \(y\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {x - 65} \right)^2} - {\left( {x - 1} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\, = \left( {x - 65 - x + 1} \right)\left( {x - 65 + x - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\, = - 64.\left( {2x - 66} \right) = 64\left( {66 - 2x} \right)\end{array}\)
Để phương trình (*) có nghiệm thì \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 66 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 33\).
Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = \dfrac{{ - \left( {x - 65} \right) + 8\sqrt {66 - 2x} }}{{x - 1}}\\\,{y_2} = \dfrac{{ - \left( {x - 65} \right) - 8\sqrt {66 - 2x} }}{{x - 1}}\end{array} \right.\)
Để có nghiệm \(y\) nguyên dương thì điều kiện cần là \(\sqrt {66 - 2x} \) phải nguyên.
\( \Rightarrow 66 - 2x\) là số chính phương.
Vì \(x > 0 \Rightarrow 0 \le 66 - 2x < 66\)\( \Rightarrow \left( {66 - 2x} \right) \in \left\{ {4;16;36;64} \right\}\,\)( do nhận thấy \(66 - 2x\) là số chẵn)
\( \Rightarrow x \in \left\{ {31;25;15;1} \right\}\) mà \(x
e 1\) nên \(x \in \left\{ {31;25;15} \right\}.\)
Lần lượt thay 3 giá trị của \(x\) vào phương trình (*) ta được kết quả sau:
Thử lại:
Với \(x = 25,\,\,y = 3\) ta có: \({25.3^2} - {\left( {3 - 45} \right)^2} + 2.25.3 + 25 - 220.3 + 2024 = 0\) (TM).
Với \(x = 15,\,\,y = 7\) ta có: \({15.7^2} - {\left( {7 - 45} \right)^2} + 2.15.7 + 15 - 220.7 + 2024 = 0\) (TM).
Vậy các cặp nghiệm nguyên dương của phương trình là: \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {25;3} \right);\left( {15;7} \right)} \right\}.\)
