Số nguyên tố chỉ có hai ước là \(1\) và chính nó, vậy ta sẽ phân tích \({a^4} + 4{b^4}\) về dạng tích của hai số. Giải chi tiết:Tìm tất cả các số nguyên dương \(a,b\) sao cho \({a^4} + 4{b^4}\) là số nguyên tố. \({a^4} + 4{b^4} = \left( {{a^4} + 4{a^2}{b^2} + 4{b^4}} \right) - 4{a^2}{b^2} = {\left( {{a^2} + 2{b^2}} \right)^2} - {\left( {2ab} \right)^2} = \left( {{a^2} - 2ab + 2{b^2}} \right)\left( {{a^2} + 2ab + 2{b^2}} \right)\) Vì \({a^4} + 4{b^4}\) là số nguyên tố và \({a^2} - 2ab + 2{b^2} < {a^2} + 2ab + 2{b^2}\) nên \({a^2} - 2ab + 2{b^2} = 1\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {b^2} = 1\\ \Leftrightarrow a = b = 1\,\left( {do\,\,a,b \in \mathbb{N}*} \right)\end{array}\) Vậy \(a = b = 1\) thỏa mãn.
