Tìm tham số \(m\) để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng? \({x^3} - 3{x^2} + mx + m = 0\) A.\(m=0\) B.\(m=\pm 1\) C.\(m=1\) D.\(m=-1\)
Đáp án đúng: C Giải chi tiết:Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành CSC. khi đó ta có: \({x_1} + {x_3} = 2{x_2}\) và \({x_1} + {x_2} + {x_3} = - \dfrac{b}{a} = 3\). \( \Rightarrow 3{x_2} = 3 \Rightarrow {x_2} = 1\). Ta thay vào phương trình đề bài được \( - 2 + m + m = 0 \Leftrightarrow m = 1\). Thử lại với \(m = 1\) ta có phương trình \({x^3} - 3{x^2} + x + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1 \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\) . \({x_1} = 1 - \sqrt 2 ,\,\,{x_2} = 1,\,\,{x_3} = 1 + \sqrt 2 \). Ba nghiệm nàu thỏa mãn lập thành CSC. Vậy \(m = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.