Đặt:
$A=\dfrac{4x+5}{2x+3}=\dfrac{4x+6-1}{2x+3}=\dfrac{2(2x+3)-1}{2x+3}=1-\dfrac{1}{2x+3}$
Để $A$ là số nguyên thì $\dfrac{1}{2x+3}$ là số nguyên
$\to 1 \ \vdots \ 2x+3$
$\to 2x+3 \in Ư(1)$
$\to 2x+3 \in \{-1;1\}$
$\to 2x \in \{-4;-2\}$
$\to x \in \{-2;-1\}$
Vậy $x \in \{-2;-1\}$ thì $A$ là số nguyên.