Đáp án: $(x,y)\in\{(2012,0), (503,503), (0,2012)\}$
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: $x,y\ge 0$
Ta có:
$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2012}$
$\to \sqrt{x}=\sqrt{2012}-\sqrt{y}$
$\to x=(\sqrt{2012}-\sqrt{y})^2$
$\to x=2012+y-2\sqrt{2012y}$
$\to 2\sqrt{2012y}=2012+y-x$
$\to 2\sqrt{2012y}\in N$ vì $x,y\in N$
$\to \sqrt{8048y}\in N$
$\to 8048y=a^2, a\in N$
$\to a^2\quad\vdots\quad 2\to a=2k, k\in N$
$\to 8048y=4k^2$
$\to 2012y=k^2$
Mà $\sqrt{y}\le \sqrt{2012}\to y\le 2012$
Kết hợp $2012=2^2\cdot 503$
$\to y\in\{0,503,2012\}$
$\to \sqrt{x}\in\{2012, 503,0\}$
