Vì $x,y,z$ là số nguyên tố nên ta có: $x,y,z\ge 2$
Do $x^y+1=z\ge 3$ nên $z$ lẻ mà $x^y=z-1$ chẵn nên $x^y$ chẵn mà $x$ là số nguyên tố nên $x=2$
Phương trình trên trở thành $2^y+1=z$
Với $y=2$ thì $z=5$ thỏa mãn yêu cầu bài toán
Với $y>2$ thì $y$ lẻ.
Khi đó
$\begin{array}{l} z = {2^y} + 1 \equiv {\left( { - 1} \right)^y} + 1\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow \\ z \equiv - 1 + 1 \equiv 0\left( {\bmod 3} \right) \end{array}$
Vậy $z\vdots 3$. Lại có $2^y+1>3$ do $y$ lẻ($y>2$) mà $z$ lại là số nguyên tố nên không tồn tại $z$ thỏa mãn điều kiện.
Vậy $(x;y;z)=(2;2;5)$
