Xét $A=1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2$
$=[1^2+2^2+3^2+...+(2n-1)^2]-[2^2+4^2+6^2+...+(2n-2)^2]$
$=[1^2+2^2+3^2+...+(2n-1)^2]-4[1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2]$
Ta thấy:
$B = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + … + (x – 1).x + x$
$ = [1.2 + 2.3 + … + (x – 1)x] + (1 + 2 + 3 + … + x)$
$ = (x – 1)x(x + 1) : 3 + (x + 1).x : 2$
$ = x.(x + 1).[(x – 1) : 3 + 1 : 2]$
$ = \frac{x.(x + 1).(2x + 1)}6$
Áp dụng ta có:
$A=\frac{(2n-1)2n(4n-1)}6-4\frac{(n-1)n(2n-1)}6$
$=\frac{(2n-1)2n(4n-1)-4(n-1)n(2n-1)}6$
$=\frac{2n(2n-1)[(4n-1)-2(n-1)]}6$
$=\frac{2n(2n-1).(2n+1)}6$
